(19)国家知识产权局 (12)发明 专利申请 (10)申请公布号 (43)申请公布日 (21)申请 号 202210849321.3 (22)申请日 2022.07.19 (71)申请人 安庆师范大学 地址 246133 安徽省安庆市宜秀区集贤北 路1318号 (72)发明人 郭玉祥　张庆平　黄忠　马宏亮　 查申龙　占生宝　郑江云　姚宏伟　 沈奥　 (74)专利代理 机构 南京中高专利代理有限公司 32333 专利代理师 曾路路 (51)Int.Cl. G06F 30/20(2020.01) G06F 17/13(2006.01) (54)发明名称 基于滑模技 术的分数阶导数估计方法 (57)摘要 本发明公开了基于滑模技术的分数阶导数 估计方法， 运用分数阶微积分的性质， 设计出任 意有界连续信号或受污染信号的分数阶导数估 计的策略， 再搭建估计系统结构图， 构成分数阶 导数估计器， 即典型的负反馈闭环系统+滤波器 模型， 然后在稳定性理论和统计线性化方法的助 力下确定 上述分数阶导数估计器的相关参数， 并 进一步考虑事先未知分数阶导数的上界的情况 下添加自适应组件， 让自适应增益随误差系统变 化能够自动在线调节； 同时应用计算机软件进行 仿真测试， 并调整优化结构图中各处的增益系 数， 改善估计效果， 进而将所设计的方法应用到 实际中对受污染信号进行分数阶导数估计， 实现 两个倒立摆的分数阶控制器设计 。 权利要求书2页 说明书11页 附图6页 CN 115081246 A 2022.09.20 CN 115081246 A 1.基于滑模技 术的分数阶导数估计方法， 其特 征在于， 包括以下步骤： (1)在进入分数阶导数估计器设计之前， 先利用分数阶微积分的性质对被估计对象进 行等价转换， 得到分数阶误差系统模型， 其数 学表达式为： 其中 表示Riemann ‑Liouville(R‑L)分数阶导数， r(t)、 e(t)和u(t)分别表示待估 计信号的输入、 误差信号和待设计的控制器； (2)设计任意有界连续信号或受污染信号的分数阶导数估计策略或方案， 给出估计系 统结构图的各个组成部分， 具体包括： 待估输入信号、 控制器、 分数阶积分器和滤波器； (3)基于步骤(2)， 先将非线性模块和继电器模块并联后与分数阶滤波器模块串联起 来， 并在分数阶滤波器模块之前引出负反馈信号至输入函数之后， 形成闭环回路， 进而得出 估计系统结构图； (4)基于步骤(2)， 通过统计线性 化方法确定控制器模块的参数k0和k1； (5)基于步骤(2)， 通过 稳定性理论确定滤波器系数J1和J2； (6)为进一步优化设计， 考虑事先未知分数阶导数的上界的情况下添加自适应组件(方 程)： 其中δ是正常数， 是自适应增益， k1(t)的自适应速率由 调 节， 让增益系数随误差系统变化能够自动在线调节； (7)在以上步骤的基础上， 结合计算机软件进行仿真测试， 同时细调优化分数阶导数估 计器中各处的增益系数， 并进一步根据实际信号和外界噪声(或干扰)信号进行参数的微 调， 使得任意有界连续信号经过此装置后能得到其分数阶导数信号， 可应用于两个倒立摆 的分数阶控制器设计中。 2.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法， 其特征在于： 所述的步 骤(2)中的主 要组成部分： 控制器和滤波器， 分别设计如下： ①控制器第一部分： 构造非线性模块u0＝k0g(e)， 其中k0是非线性增益系数， g( ·)满 足： η可为0； ②控制器第二部分： 构造继电模块u1＝k1sgn(e)， 其中参数k1是继电增益系数， sgn( ·) 满足： ③选取适当矩阵A、 B和C， 构建滤波 器模块： GF＝C(sI‑A)‑1B； 当A＝‑1/J1， B＝1/J1和C＝1 时， 则可以得到GF＝1/(J1s+1)为一阶低通滤波器模块； 当 和C＝[1 0]时， 则GF为二阶低 通滤波器模块GF＝1/(J1s+1)(J2s+1)， 其中J1和J2为滤波器系 数， 依次类 推同样可以给 出三阶低通滤波器， 另外当滤波器系数都为 零时， 此模块 为常数1。 3.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法， 其特征在于： 所述步骤 (2)中①和②， 并结合估计系统结构图， 通过统计线性 化方法确定控制器模块的参数k0和k1。 4.根据权利要求2所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法， 其特征在于： 所述确定 控制器模块的参数k0和k1的具体原理如下： 首先根据结构图得到闭环传递函数Φ(σe,s)＝ ksα/(sα+k)， 其中k是等效传递函 数系数； 然后依据统计线性化的方 法， 给出等效传递函 数系 数表达式为：权　利　要　求　书 1/2 页 2 CN 115081246 A 2其中σe是误差信号e的标准差， g(e)＝eq/p， p＞q且q,p是奇数， 显然k与误差信号的标准 差σe、 参数k0、 k1、 q、 p的选择密切相关， 并且有 和 选择恰当的参数k0、 k1、 q、 p使得整体1/k小， 那么在低频噪声环境或扰动情况下闭环传递函数Φ( σe,s)＝sα/(k‑1sα+ 1)≈sα相当于一个分数阶微分器； 相反， 在高频噪声环境或扰动情况下闭环传递函 数Φ( σe, s)＝k/(1+ks‑α)≈k， 即遭受噪声 污染的信号 经过此处时不进分数阶微分运算， 因而参数k的 选取非常关键， 考虑到k1是切换增益， k1越大抖振越厉害， 即k1不能取的大， 仅能将k0取的 大， 从而保证所设计的分数阶导数估计装置在信号遭受随机噪声或不确定扰动污染时依然 能正常工作。 5.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法， 其特征在于： 所述步骤 (2)中③， 再结合估计系统结构图， 通过稳定性理论确定滤波器系数， 滤波器系数包括J1和 J2。 6.根据权利要求1所述的基于滑模技术的分数阶导数估计方法， 其特征在于： 所述确定 滤波器系数J1和J2的具体原理如下： 根据所得到的任意有界连续信号分数阶导数估计可能 含有“有害”的噪声， 需要设置低通滤波器模块滤除 “有害”信号， 并且所得到的估计值与精 确值可能还 存在误差， 误差表达式为： 其中||exp(A(t‑Tr))||≤mexp(‑λ(t‑Tr))， λ是A的负实部最小 特征值， ο(t)是高阶无穷 小； ①当GF＝1/(J1s+1)为一阶低通滤波器时， 其 解为： y(t)＝(1 ‑exp(‑(t‑Ts)/J1))x(t)； 误差表达式为： |ec(t)|≤2k1+ο(t)， 其中ο(t)是高阶无穷小； ②当GF＝1/(J1s+1)(J2s+1)为二阶低通滤波器时， 其 解为： y(t)＝(1 ‑((J2exp(‑(t‑Ts)(1/J2‑1/J1))‑J1)exp(‑(t‑Ts)/J1))/(J2‑J1)x(t)； 误差表达式为： |ec(t)|≤k1max{1/J1,1/J2}+k1+ο(t)， 其中ο(t)是高阶无穷小； 因此， 基于上述的解的表达式参数J1和J2应选择的小， 但再依据上述误差表达式参数J1 和J2的选择又不能过小， 以防止线性滤波器失真， 另外， 通过将分数阶误差系统等价转换为 连续频率分布状态权重模型， 再构建能量函数， 用Lyap unov稳定性理论来给出误差信号e在 有限时间Ts内能否达到预定的指标 范围|e|≤ η， 有限时间Ts满足关系式： 依据上式， 可以确定参数q和p。权　利　要　求　书 2/2 页 3 CN 115081246 A 3